viernes, 21 de junio de 2013

Simulación gráfica del portafolio de mínima varianza

Simulación gráfica del portafolio de mínima varianza

En esta oportunidad veremos cómo graficar la frontera eficiente de inversión de una cartera compuesta por varios activos, encontrando visualmente el portafolio que entrega el mayor retorno al menor riesgo posible, llamado portafolio de mínima varianza. Para ello veremos un ejemplo con acciones y datos reales del mercado bursátil chileno, de manera que puedan replicar el ejercicio en caso que lo consideren necesario.
Poder graficar la frontera eficiente y  hallar el portafolio de mínima varianza es sumamente útil, sobre todo para aspectos visuales, como cuando uno tiene que hacer una presentación y justificar una decisión de inversión en un activo por sobre otro o, por qué invertir tal cantidad en dicho activo y no otra, etc.

Ejemplo:

Para el siguiente ejemplo asumiremos una cartera compuesta por 5 activos, todos con una presencia bursátil del 100% en la bolsa chilena: Gasco, CGE, Forus, Madeco y Falabella. Utilizaremos sus retornos mensuales para los meses de Enero – Mayo del 2013. Para calcular los retornos necesitaremos los precios de cierre de dichas acciones para los meses de Diciembre 2012 a Mayo 2013. Estos pueden ser encontrados en la sección Homebroker de la página www.bovalpo.cl. Una vez en dicha sección, seleccionamos la cinta “cierre”, luego escribimos la fecha que buscamos (que será el último día del mes en que estuvo abierta la bolsa) y  en bolsa seleccionamos “bolsa comercial”. En la imagen adjunta encontraremos los pasos a seguir.


 Una vez encontrados los precios armamos una tabla en Excel con las acciones y sus respectivos precios a cada fecha. Esta tabla debiese verse así:



Para calcular la rentabilidad mensual simplemente realizamos la siguiente operación estándar:


Con esto, la tabla de rentabilidades debiese quedar de la siguiente manera:



Una vez obtenida la matriz de rentabilidades, debemos calcular la matriz de varianza y covarianza. Como el objetivo de este blog no es hacer clases de finanzas no mostraré como calculara, pero dejaré un link a un video en youtube en la sección bibliográfica donde explican claramente cómo obtenerla. Dicho esto, la matriz de varianza y covarianza debiese verse así:



Ahora que tenemos todos los datos necesarios para obtener el portafolio de mínima varianza, podemos proceder a calcularlo.

Primero que nada, debemos construir la siguiente matriz:


En ésta, se ven el nombre de los 5 activos, sus rentabilidades medias para el periodo de análisis, 9 columnas de ponderaciones, que representarán 9 puntos en la frontera eficiente, y 4 celdas: Objetivo, la rentabilidad media, la varianza y el riesgo para cada uno de estos portafolios.
Para calcular el portafolio de mínima varianza y los otros puntos de la frontera eficiente (de manera que sea graficable) debemos definir las fórmulas que obtendrán la rentabilidad, varianza y riesgo de los portafolios. De finanzas sabemos que la rentabilidad media de un portafolio se puede definir como:


Donde  es la matriz transpuesta de ponderaciones que veíamos en la imagen 5. En Excel, la fórmula para devolver el producto matricial entre dos matrices es MMULT y es, valga la redundancia, una formula matricial por lo que para activarla debemos apretar ctrl + shift + enter. 

Para calcular la varianza debemos seguir la siguiente formula:


Finalmente, el riesgo, medido como la desviación estándar del portafolio, se calcula simplemente como la raíz de la varianza.

A continuación se muestran las formulas matriciales que permiten que permiten obtener los resultados pedidos.







Cuando hayamos escrito las fórmulas podremos comenzar a calcular el portafolio de mínima varianza. Para ello debemos abrir “solver”. Al hacerlo, se abrirá una ventana como la siguiente:



En “establecer objetivo” seleccionamos la celda donde tenemos anotada la fórmula de la varianza. Esta celda debe ser una formula por cuanto “solver” obtiene la solución óptima mediante iteraciones de ésta. Donde dice “Para” seleccionamos la opción “min”, pues queremos minimizar la varianza. Cuando nos preguntan “Cambiando las celdas”, debemos seleccionar la celda de ponderaciones w1 que esta junto a la celda de retornos promedio de cada acción. Finalmente, en la parte que dice “sujeto a restricción” apretamos “agregar” y le pedimos que la celda suma todas las ponderaciones sea igual a 1, como muestra la siguiente imagen:



Apretamos resolver y si hicimos todo bien, nos debería dar el siguiente resultado:



Ahora, para graficar la frontera eficiente sólo falta encontrar otros puntos de esta. Para ello, nos damos valores por sobre y bajo la rentabilidad que entrega el portafolio de mínima varianza, de manera de captar la parte cóncava y convexa de la frontera eficiente. Obviamente, el valor mínimo tiene que ser mayor o igual a la rentabilidad del activo que tiene la menor rentabilidad promedio (3.2325% en este caso, correspondiente al activo Falabella) y el valor máximo no puede ser mayor a los 7.3806% que entrega el activo con mayor rentabilidad, Gasco. Yo me daré 9 valores aleatorio entre [3.3%, 7.38]. El procedimiento entonces es el mismo que para calcular la mínima varianza con la salvedad que ahora debemos agregar otra restricción: que la rentabilidad del portafolio sea igual a la rentabilidad exigida:




Si hacemos esto, y restringimos a que la rentabilidad del portafolio sea igual a la rentabilidad que se muestra en la celda objetivo, el resultado debiese ser el siguiente:




Ahora, sólo queda graficar. Estableciendo la desviación estándar en el eje X y la rentabilidad en el eje Y, y teniendo cuidado de poner la rentabilidad de mínima varianza en su lugar correcto en el ranking de rentabilidades, insertamos dichos datos en un gráfico de dispersión y voilá:


Autor: Luis Quezada.

Bibliografía:




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